Цветовое пространство RGB

6.1. ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦВЕТА

6.1.1. Цветовое пространство

Трехмерность цвета дает основание выразить его в виде вектора в пространстве.

Выберем систему прямоугольных координат (рис. 6.1) и обозначим координатные оси символами основных цветов, например RGB. Отложим на осях числа, выражающие цве­товые координаты. Положим для примера, что цвет Ц задан уравнением:

Ц = 4R + 3G + 2B. (6.1)

В соответствии с уравнением проведем вектор Ц. Его про­екции на координатные оси есть цветовые составляющие 4R, 3G, 2В.

Используя координатные оси, можно найти векторы лю­бого цвета, получаемого с помощью выбранных основных. Совокупность цветов, выраженная в данной системе основ­ных, называется цветовым пространством системы. Каждой точке этого пространства соответст­вует определенный цвет, потому что любую точку можно рас­сматривать как конец вектора, проведенного из начала коор­динат.

В соответствии с третьим законом Грасмана цветовые уравнения, как и обычные алгебраические, аддитивны: если складываются два цвета, то суммарный имеет цветовые ко­ординаты, равные сумме координат складываемых цветов. Следовательно, вектор суммарного цвета равен сумме век­торов складываемых и может быть найден по правилу парал­лелограмма.

На первый взгляд векторное представление цвета может показаться излишне формальным, потому что практическое представление о нем никак не связано с одним из свойств векторной величины -- направленностью.


Вопрос о том, куда направлен цвет, например голубой, в повседневной жизни бессмыслен. Однако в цветовом пространстве вектор этого цвета имеет вполне определенное направление. Он по­лучается аддитивным сложением синего и зеленого основ­ных. Поэтому вектор голубого цвета лежит в координатной плоскости GB ближе к оси В, если он имеет синеватый отте­нок, или к оси G, если он зеленоватого оттенка. Если голу­бой не насыщен, то его вектор отклонен от плоскости на тот или иной угол.



Рис. 6.1. Вектор цвета, описы­ваемый уравнением (6.1), в пространстве RGB



Рис. 6.2. Схема изменения ха­рактеристик цвета в зависимо­сти от его положения в цвето­вом пространстве

Весьма важен вопрос об изменении насыщенности и ярко­сти в цветовом пространстве. Поскольку ахроматические цвета имеют равные цветовые координаты, то все они нахо­дятся в цветовом пространстве на линии, равноудаленной от координатных осей. Эта линия (ЧБ на рис. 6.2) называется ахроматической осью. Чем большие числен­ные значения имеют цветовые координаты, тем больше яр­кости цветов. Точке М ахроматической оси соответствует малая яркость (темно-серый цвет), а точке N — большая (светло-серый). В начале координат лежит точка Ч нулевой яркости, выражающая черный цвет. По мере продвижения по ахроматической оси от начала координат яркость воз­растает. Часть оси, изображенная на рисунке, кончается точкой Б, определяющей положение белого цвета в цвето­вом пространстве.





Если цветовые координаты мало отличаются друг от дру­га, цвет, определяемый ими, находится вблизи ахромати­ческой оси. Следовательно, насыщенность цвета в цветовом пространстве возрастает по мере удаления от ахроматической оси. Изменение насыщенности и яркости показано стрел­ками .

Цветовое пространство обладает некоторыми специфиче­скими свойствами. Так, к нему неприложимо понятие рас­стояния, угла; в то же время можно говорить об отношениях длин и углов. Более подробно об этом будет сказано в 6.3.



6.1.2. Особые плоскости и линии цветового пространства RGB

Плоскость единичных цветов. На координатных осях RGB отложим яркости единичных значений основных цве­тов, выраженные в яркостных колориметрических единицах (формулы 5.1). Как известно, ВR = 1, если яркость цвета R = 680 кд-м-2; ВG = 1 при В = 3121 кд-м~2 и Вв = 1 при В = 41 кд-м-2. Следовательно, OBR, OBG, ОВВ (рис. 6.3) — единичные отрезки. Плоскость Р, проходящая через их концы, называется плоскостью единич­ных цветов. Любая ее точка выражает единичный цвет, т. е. такой, сумма координат которого (т. е. модуль цве­та) равна единице.

Из аналитической геометрии известно уравнение плоско­сти в отрезках:



(6.2)

где х, у, z — текущие координаты; а, b, с — отрезки, отсе­каемые плоскостью на координатных осях.

В наших обозначениях уравнение (6.2) выглядит следую­щим образом:



(6.2,а)

По построению BR = BG = BB = 1. Поэтому r + g + b = 1.

Следовательно, сумма цветовых координат (модуль) цве­та, заданного любой точкой плоскости Р, равна единице, а значит, Р, что и требовалось доказать, есть плоскость еди­ничных цветов, или, что то же, плоскость цвет-нос т е и. Яркость любого цвета, лежащего в ней, равна яркостной колориметрической единице, выражаемой раз­ным числом кд-м~2

в зависимости от значения цветовых ко­ординат.

Треугольник, образованный пересечением плоскости единичных цветов с координатными плоскостями (рис. 6.3),

называется треугольником цветности или цветовым треугольником.

Плоскости равных яркостей. Цвета, лежащие на плос­кости единичных цветов, имеют одинаковые яркости, выра­жаемые в колориметрических единицах, но разные — в кд-м~2. Определим теперь положение геометрического мес­та точек, соответствующих постоянным значениям яркостей в кд-м^2.

Отложим на координатных осях RGB (рис. 6.4) точки S,T и U, имеющие яркости, равные 680 кд-м-2. Масштаб по ко-



Рис. 6.3. Плоскость единич­ных цветов и треугольник цветности



Рис. 6.4. Плоскости равных яр­костей



ординатным осям выберем в яркостных колориметрических единицах BR, BG, ВB. Следовательно, для того чтобы от­ложить заданные точки, нужно выразить яркость 680 кд-м~2 в значениях яркостных колориметрических единиц.

680 кд-м-2 составляют одну яркостную единицу BR, 0,22 единицы BG и 17 единиц ВB.

Проведем через точки S, Т и U плоскость Q1, называемую плоскостью равных яркостей. Каждая ее точка в нашем примере выражает цвет, яркость которого равна 680 кд-м-2. Это можно доказать, приняв 680 кд-м-3 за единицу яркости и применив формулу (6.2).

Если отложить на осях координат не 680, а, например, 1360 кд-м-2 и провести через отложенные точки плоскость Q2. то она окажется параллельной Q1. Следовательно, в цве­товом пространстве RGB (как и в любом цветовом простран­стве) находится семейство взаимно параллельных плоскос­тей равной яркости. Можно вообразить себе плоскость нуле­вых яркостей Q0. Она параллельна Q1 и Q2 и проходит через начало координат. В ней лежат точки безъяркостных цве-



Рис. 6.5. Линии равной яркости

тов. Такие цвета, конечнб, видеть нельзя, но вообразить мож­но. Еще ниже расположены плоскости также воображаемых цветов, имеющих отрицательные яркости. Плоскость нуле­вой яркости имеет в коло­риметрии важное значение (см. об этом в разделе 7.3). Линии равной яркости. Линии пересечения плос­кости единичных цветов с плоскостями равной ярко­сти называются линия­ми равной яркости. На рис. 6.5 показаны ли­нии В = 1 и В = 0. Пос­ледняя называется а л и х-ной. Она образована пе­ресечением плоскостей ну­левых яркостей qb=o и единичных цветов Р. На алихне лежат точки воображаемых цветов, не имеющих яркости. Представление о таких цветах используется в колориметрической системе XYZ.

6.2. ВЫРАЖЕНИЕ ЦВЕТНОСТИ

6.2.1. Свойства цветового треугольника

Для описания цветности нет необходимости прибегать к пространственным представлениям. Достаточно использовать плоскость треугольника цветности (рис. 6.3). Чтобы выра­зить единичный цвет численно, нужно перенести координа­ты с пространственных осей RGB на стороны треугольника, как это показано на рис. 6.6, а.


Из рисунка понятен метод отсчета координат от вершин треугольника. Они отсчитыва­ются по направлению к вершине (по часовой стрелке), соот­ветствующей данной координате. Определим координаты точки Цед (рис. 6.6, б). Чтобы найти r, нужно отсчитать эту координату по стороне gr. Для этого требуется из точки вы­ражаемого единичного цвета Цед провести прямую, парал­лельную стороне bg (лежит против угла, соответствующего тому основному, координата которого отсчитывается). Так же находятся и другие координаты. Таким образом, как это

видно из рисунка, единичный цвет, выражаемый точкой Цед, описывается уравнением:

Цед = 0,3R + 0,5G + 0,2B.

Сумма координат цветности равна единице.

Пусть требуется, наоборот, по координатам цветности определить соответствующую точку треугольника. Допус­тим, дано уравнение

Цед=0,5R + 0,4G + 0,1В.

Для нахождения точки, цветность которой есть Ц (рис. 6.7, а), нужно из точки сторон r

= 0.5, g = 0,4 и b =



Рис. 6.6. Перенос цветовых координат (а) и пространственная интерпретация метода определения координат цветности (б) = 0,1 параллельно сторонам треугольника, противополож­ным вершине, выражающей основной цвет, провести прямые до их встречи в точке Ц (на рис. 6.7, а проведены пунктир­ными линиями).

Как видно из рисунка, третья координата лишняя. Поло­жение точки в плоскости треугольника определяется двумя координатами. Третья не свободна, а связана со значениями двух первых. Это следует из того, что рассматриваемый тре­угольник — часть плоскости единичных цветов. А для ха­рактеристики цветности, которая является двухмерной ве­личиной, достаточно двух координат. Так как сумма коор­динат цветности равна единице, то по двум из них всегда можно найти третью. Например: r = 1 — (g + b). Анало­гично для координат g и b.

Если, например, r = 0,5 и g =6,4, то третья координата q =0,1.

Цветовые свойства треугольника цветности. Выберем в треугольнике (рис. 6.7, а) точку Б с координатами r = 1/3,



g = 1/3 . В этом случае третья координата b = 1/3 . Тогда для цвета Б уравнение цветности запишется следующим образом:



Из уравнения следует, что так называемая белая точка Б (1/3, 1/3, 1/3) выражает единичный ахроматический цвет.



Рис. 6.7. Свойства треугольника цветности:

а — нахождение точки по координатам цветности; б — изменение насы­щенности по биссектрисе одного из углов треугольника

Она есть след пересечения ахроматической оси цветового пространства с плоскостью единичных цветов.

Рис. 6.2 показывает, что с удалением точки от ахромати­ческой оси насыщенность выражаемого ею цвета возрастает. Это соотношение сохраняется и для цветового треугольника. По прямой, соединяющей сторону или вершину треугольни­ка с белой точкой, насыщенность падает от максимального ее значения в точке, принадлежащей стороне треугольника, до нулевого в белой точке. Цветовой тон на прямой остает­ся постоянным.

Покажем это на примере изменения цветности по биссект­рисе (рис. 6.7, б). Из рисунка видно, что в этом случае g = = 1—2r. Это следует из того, что заштрихованные треуголь­ники равны между собой и, следовательно, отрезок gц1g вдвое больше отрезка rцl g. Подставив значение g в формулу b = 1 — (g + r), получим для точек биссектрисы угла g (и аналогично для других углов): b = r Следовательно, цветовые уравнения цветов, расположенных на биссектрисе уг­ла g, имеют вид



Аналогично этому насыщенность изменяется по любой прямой, проходящей через белую точку треугольника.

Пользуясь цветовым треугольником, можно складывать цвета. Поясним это, опираясь на пространственное представ­ление. На рис. 6.8,a показан треугольник цветности, находя-



Рис. 6.8. Схема сложения цветов в треугольнике цвет­ности:

а — пространственная интерпретация; б — соотношения на пло­скости

щийся в цветовом пространстве, и векторы цветов Ц1 и Ц2, а также суммарный вектор Ц?. Плоскость параллелограмма складываемых цветов пересекает треугольник по линии

Ц1едЦ2ед

На рис. 6.8, б тот же треугольник представлен в плоско­сти чертежа.


Из рис. 6.8, а и б следует:



(6.3)

Если складываемые цвета Ц1 и Ц2

равны, то отрезки l1 = = Ц?едЦ1ед

и l2 = Ц2едЦ?ед

одинаковы по длине и точка суммарной цветности лежит на середине Ц1едЦ2ед. Если же яркости цветов неодинаковы, то линии отрезков Ц1едЦ2ед и Ц2сдЦ?ед обратно пропорциональны модулям склады­ваемых цветов.

Отношение m1/m2 = l2/l1 иногда называется правилом центра

тяжести по аналогии с представлением о соотношениях меж­ду силами и плечами, принятым в механике. Белая точка. В уравнении



имеется в виду, что основные выражены в колориметрических единицах. Возьмем вместо этого основные в одинаковых ко­личествах при условии, что они выражены в стандартных световых единицах. Обозначим их в знак того, что это не ко­лориметрические единицы, символами RGB, взятыми в скоб­ки (R)(G)(B). Тогда для получения белого цвета необходимы их количества, следующие из уравнения Б = (R) + + 4,59 (G) + 0,06 (В).

Отложим в цветовом треугольнике rgb точку Б (рис. 6.9). Модуль цвета Б в этом случае равен 5,65. Поэтому для на­хождения белой точки нужно составить уравнение цветности. Деля цветовые координаты на модуль, получим r = 0,177, g= 0,813, b = 0,001.

Отложив найденную таким образом точку в треугольни­ке rgb (рис. 6.9), убеждаемся, что она находится не в центре, а вблизи угла g и очень близко (b = 0,001) от стороны rg. Такое положение точки белого цвета неудобно, так как точ­ность выражения зеленых и близких к ним цветов сильно сни­жается, затрудняются расчеты. В этом состоит одна из причин, по которым введены колориметрические единицы яркости.

Представление основных цветов в стандартных энергети­ческих единицах (Вт) приводит к аналогичному результату: точка Б оказывается прижатой к вершине R треугольника. В этом случае неудобно откладывать точки красных цветов и близких к ним.

Белая точка треугольника rgb выражает цветность ис­точника Е. В треугольнике xyz есть несколько «белых» то­чек (см. о них в разделе 7.4).



Локус. Цветов, более насыщенных, чем спектральные, в природе не существует. Поэтому граница цветности реаль­но наблюдаемых цветов определяется положением точек, выражающих спектральные цвета. Чтобы найти их на тре­угольнике, воспользуемся значениями удельных координат в системе RGB. По данным табл. 6.1, в которой приводятся значения удельных координат, найденных эксперименталь­но, составим сначала уравнение цвета одноваттного моно­хроматического излучения ? = 480 нм; ц480 = 0,049R + 0,039G + 0,145 В.

Поделив каждую из координат на модуль, получим ко­ординаты цветности указанного монохроматического: r = = -0,049 : 0,135= -0,36; g = 0,039 : 0,135 = 0,29; b = 0,145-0,135 = 1,07.

Одна из координат — отрицательна. Продолжив коорди­натные оси (рис. 6.10), можно откладывать как отрицатель­ные значения координат цветности, так и их значения, боль­шие единицы. Зная координаты, найдем точку, выражающую цветность излучения ? = = 480 нм, как это показано на рис. 6.10. Получим подобным же образом точки цветностей



Рис. 6.9. Положение «белой» точки в случае, когда основ­ные выражены одинаковыми числами световых единиц



Рис. 6.10. Положение локуса относительно треугольника

цветности rgb

других монохроматических (490, 500, 510 нм и т. д.). Соеди­ним их сплошной линией. Она называется локусом спект­ральных цветов или просто локусом (лат. locus — место) и является границей цветностей реально существующих цветов. Локус начинается от ? = 400 нм, доходит до ? ? ? 545 нм, а затем совпадает со стороной gr треугольника цвет­ности.

На прямой, соединяющей любую точку локуса с белой, лежат цветности всех цветов, совпадающих по цветности со спектральными данной длины волны.

В спектре содержатся все цвета, кроме пурпурных. Что­бы получить полную совокупность максимально насыщен­ных цветов, локус замыкают прямой линией (на рисунке пунктир), на которой лежат единичные пурпурные макси­мальной насыщенности. Площадь, ограниченная локусом и замыкающей его прямой, называется полем реаль­ных цветов.


Вне этого поля лежат воображаемые цвета, болге насыщенные, чем спектральные. На поле же находятся реальные, которые насыщены меньше лежащих на локусе.

Яркостные свойства треугольника цветности. В разделе 6.1.2 были рассмотрены линии равной яркости, образуемые пересечением плоскости единичных цветов Р с плоскостями равной яркости Qn. Яркостные свойства треугольника цвет­ности определяются положением этих линий.

На рис. 6.11 дана изометрическая проекция треуголь­ника, находящегося в цветовом пространстве. В таком слу­чае координатные оси проеци­руются под углом 120° друг к другу. Соотношение мас­штабов по сторонам треуголь­ника одинаково, и все рас­суждения, относящиеся к пространственным построени­ям, остаются в силе и для треугольника цветности, сов­мещенного с плоскостью чер-



Рнс. 6.11. Распределение ярко­стей в треугольнике цветности rgb

тежа, как на рис. 6.7. Циф­ры, стоящие у вершин тре­угольника (рис. 6.11), пока­зывают яркости единичных основных цветов в кд-м~2. Определив яркостный масштаб (т. е. число кд • м~2

на единицу длины по каждой из сторон), можно найти яркость цвета, выражаемого любой точкой треугольника. Найдя точки равноярких цветов и соединив их прямыми, получим линии равной яркости, которые на рис. 6.5 были представ­лены как следы пересечения треугольника rgb с плоско­стями равных яркостей. Чтобы определить яркость произ­вольного цвета Ц, нужно через точку Ц провести прямую, параллельную линиям равной яркости, до пересечения с одной из сторон — bg или gr. Пусть, например, эта линия пересекает сторону gr в точке Вц. Зная яркостный масштаб сторон треугольника (кд • м-2/мм), можно по длине от­резка gBц (мм) найти яркость Вц, а следовательно, и любой точки прямой, проходящей через Ц и Вц.

6.2.2. Диаграмма rg

Общие сведения. В практике трехкоординатная систе­ма выражения цветности, рассмотренная в разделе 6.2.1, неудобна, да в ней нет и необходимости, поскольку третья координата цветности несвободна.


Поэтому эту громоздкую

6.1. Международно принятые функции сложения цветов

Значения ординат кривых сло­жения цветов в системе RGB при источнике Е	?, нм	Значения координат цветности спектральных излучений в сис­теме RGB МОК (1931 г.)
r (?)	g(?)	b(?)		r(?)	g(?)	b(?)
0,00003	—0,00001	0,00117	380	0,0272	—0,0115	0,9843
0,00005	—0,00002	0,00189	385	0,0268	—0,0114	0,9846
0,00010	—0,00004	0,00359	390	0,0263	—0,0114	0,9851
0,00017	—0,00007	0,00647	395	0,0256	— 0.01L3	0,9857
0,00030	-0,00014	0,01214	400	0,0247	—0,0112	0,9865
0,00047	—0,00022	0,01969	405	0,0237	—0,0111	0,9874
0,00084	—0,00041	0,03707	410	0,0225	—0,0109	0,9884
0,00139	—0,00070	0,06637	415	0,0207	—0,0104	0,9897
0,00211	—0,00110	0,11541	420	0,0181	—0,0094	0,9913
0,00266	—0,00143	0,18575	425	0,0142	— 0..0076	0,9934
0,00218	— 0,001 19	0,24769	430	0,00088	—0,0048	0,9960
0,00036	—0,00021	0,29012	435	0,0012	—0,0007	0,9995
—0,00261	0,00149	0,31228	440	—0,0084	0,0048	1 ,0036
—0,00673	0,00379	0,31860	445	—0,0213	0,0120	,0093
—0,01213	0,00678	0,31670	450	—0,0390	0,0218	,0172
—0,01874	0,01046	0,31166	455	-0,0618	0,0345	,0273
—0,02608	0,01485	0,29821	460	—0,0909	0,0517	,0392
—0,03324	0,01977	0,27295	465	—0,1281	0,0762	,0519
—0,03933	0,02538	0,22991	470	—0,t821	0,1175	,0646
—0,04471	0,03183	0,18592	475	—0,2584	0,1840	,0744
—•0,04939	0,03914	0,14494	480	—0,3667	0,2906	,0761
—0,05364	0,04713	0,10968	485	—0,5200	0,4568	,0632
—0,05814	0,05689	0,08257	490	—0,7150	0,6996	,0154
—0,06414	0,06948	0,06246	495	—0,9459	,0247	0,9212
—0,07173	0,08536	0,04776	500	—1 , 1685	,3905	0,7780
—0,08120	0,10593	0,03688	505	—1,3182	,7195	0,5987
—0,08901	0,12860	0,02698	510	-1,3371	,9318	0,4053
—0,09356	0,15262	0,01842	515	— 1,2076	,9699	0,2377
—0,09264	0,17468	0,01221	520	—0,9830	,8534	0,1296
—0,08473	0,19113	0,00830	525	—0,7386	1,6662	0,0724
—0,07101	0,20317	0,00549	530	—0,5159	1,4761	0,0398
—0,05316	0,21083	0,00320	535	—0,3304	1,3105	0,0199
—0,03152	0,21466	0,00146	540	—0,1707	1 , 1628	0,0079
—0,00613	0,21487	0,00023	545	—0,0293	1,0282	0,0011
0,02279	0,21178	—0,00058	550	0,0974	0,9051	—0,0025
0,05514	0,20588	—0,00105	555	0,2121	0,7919	—0,0040
0,09060	0,19702	—0,00130	560	0,3164	0,6881	—0,0045
0,12840	0,18522	—0,00138	565	0,4112	0,5932	—0,0044
0,16768	0,17087	—0,00135	570	0,4973	0,5067	—0,0040
0,20715	0,15429	—0,00123	. 575	0,5751	0,4283	—0,0034
0,24526	0,13610	—0,00108	580	0,6449	0,3579	—0,0028
0,27989	0,11686	—0,00093	585	0,7071	0,2952	—0,0023
0,30928	0,09754	—0,00079	590	0,7617	0,2402	—0,0019
0,33184	0,07909	—0,00063	595	0,8087	0,1928	—0,0015
0,34429	0,06246	—0,00049	600	0,8475	0,1537	—0.0012
0,34756	0,04776	— о;оооз8	605	0,8800	0,1209	—0,0009
0,33971	0,03557	—0,00030	610	0,9059	0,0949	—0,0008

<


Продолжение табл. 6.1

Значения ординат кривых сло­жения цветов в системе RGB при источнике Е	?, нм	Значения координат цветности спектральных излучений в сис­теме RGB МОК (1931 г.)
r(?)	g(?) | b(?)		r(?)	g(?)	b(?)
0,32265	0,02583	—0,00022	615	0,9265	0,0741	—0,0006
0,29708	0,01828	—0,00015	620	0,9425	0,0580	—0,0005
0,26348	0,01253	—0,00011	625	0,9550	0,0454	—0,0004
0,22677	0,0983-3-	—0,00008	630	0,9649	0,0354	—0,0003
0,19233	0,00537	—0,00005	635	0,9730	0,0272	—0,0002
0,15968,	0,00334	—0,00003	640	0,9797	0,0205	—0,0002
0,12905	0,00199	—0,00002	645	0,9850	0,0152	—0,0002
0,10167	0,00116	—0,00001	650	0,9888	0,0113	—0,0001
0,07857	0,00066	—0,00001	655	0,9918	0,0083	—0,0001
0,0о932	0,00037	0,00000	660	0,9940	0,0061	—о.ооо г
0,04366	0,00021		665	0,9954	0,0047	—0,0001
0,03149	0,00011		670	0,9966	0,0035	—0,0001
0,02294	0,00006		675	0,9975	0,0025	0,0000
0,01687	0,00003		-680	0,9984	0,0016
0,01187	0,00001		685	0,9991	0,0009
0,00819	0,00000		690	0,9996	0,0004
0,00572			695	0,9999	0,0001
0,00410			700	1 , 0000	0,0000
0,00291			705	1,0000
0,00210			710	1,0000
0,00148			715	1,0000
0,00105			720	1,0000
0,00074			725	1,0000
0,00052			730	1,0000
0,00036			735	1,0000
0,00025			740	1,0000
0,00017			745	1,0000
0,00012			750	1,0000
0,00008		9>	755	1 ,0000
0,00006			760	1,0000
0,00004			765	1,0000
0,00003		г>	770	1,0000
0,00001		Чэ	775	1,0000
0,00000			780	1,0000

<


Яркостные коэффициенты LR : LG : LB= 1 : 4,5907 : 0,0601

систему заменяют обычной прямоугольной. Представим себе (рис. 6.12) треугольник цветности rgb с локусом и пря­мой пурпурных цветов (поле реальных цветов), находящих-сях в пространстве RGB. Локус показан на рисунке штри­ховыми линиями, потому что находится в октанте G — RB. Спроецируем-изображенную на рисунке фигуру на коорди­натную плоскость GR—R. Тогда проекция вершины b -точка b' совпадает с точкой О — началом координат. Ось



Рис. 6.12. Проекционное преобразование треуголь­ника rgb с локусом

Og в этом случае — ось ординат декартовой системы, а ось Or — ось абсцисс.

Проекционно преобразованное поле реальных цветов, включая треугольник rgb, показано на рис. 6.12 (заштри­ховано). На рис. 6.13 оно совмещено с плоскостью чертежа. Колориметрические свойства треугольника, полученного таким путем, не отличаются от свойств исходного равносто­роннего.

1. Значения цветовых ко­ординат цветов не изменяют­ся от проекционного преоб­разования.

2. Насыщенность цветов по-прежнему возрастает от белой точки к локусу.

3. На прямой, проходя­щей через целую точку, ле­жат, как и в равносторон­нем треугольнике, цветности цветов постоянного цветово­го тона.

4. На прямой, соединяю­щей точки двух цветностей, находятся точки их суммар­ных цветов; расстояния точ­ки суммарного цвета дс то­чек складываемых цветов обратны модулям последних.

5. Белая точка имеет, как и раньше, координаты Б (1/3; 1/3).

6. Локус остается границей спектральных цветов.

7. Алихна остается линией нулевых яркостей.

Подобные проекционные преобразования в колоримет­рии применяются часто. Они упрощают определения и рас­чёты. При них сохраняются метрические свойства не толь­ко треугольника, но и цветового пространства. Широко ис­пользуется как ортогональное проецирование, так и бо­лее сложные, как в рассмотренном примере, случаи проек­ционных преобразований.

Сетка прямоугольных координат с нанесенным на нее локусом, замкнутым прямой пурпурных цветов, называет­ся диаграммой цветности или цвето­вым графиком.



Выражение цветового тона через доминирующую длину волны и насыщенности через колориметрическую чистоту. Цветовой график можно использовать для определения до минирующей длины волны и колориметрической чистоты (см. с. 34).

Цветовой тон. Возьмем на диаграмме цветности произ­вольную точку Ц (рис. 6.13). Пусть она имеет, например, координаты Ц (0,2; 0,6). Соединим ее с белой точкой и продолжим линию вверх до пересечения с локусом. На про­веденной таким образом прямой изменяется только насы­щенность, и точка пересечения Ц?=550

соответствует длине волны излучения, имеющего тот же цветовой тон, что и цвет Ц, т. е. доминирующей длине волны.

Так как пурпурных в спектре, а следовательно, на ло­кусе нет, то для них рассматриваемая характеристика на­ходится следующим образом. Возьмем вблизи линии пур­пурных цвет П. Найдем цвет, тождественный ему по тону, но максимальной насыщенности. Для этого соединим точку П с белой точкой и продолжим прямую пересечения с ли­нией пурпурных. Точка пересечения П выражает тот же цветовой тон, что и точка П. Продолжим теперь прямую ПБ в сторону локуса. Точка пересечения указывает длину волны ? = 500 нм. Это — цвет, дополнительный к П. Его длиной волны со знаком «штрих» обозначается точка П на линии пурпурных. В нашем примере доминирующая дли­на волны равна 500' нм.

Колориметрическая чистота цвета. Зная положение цвета Ц на диаграмме цветности (рис. 6.13), можно най­ти его колориметрическую чистоту р по формуле



Заменив В? + ВБ

= В, получим р = В? : В.

Для расчета колориметрической чистоты по данным, которые можно прочитать на диаграмме, следует яркости В?

и В заменить их значениями в соответствии с формулой 5.5:



(6.4)

Преобразуем отношение m?/m так, чтобы к нему можно бы­ло приложить правило сложения цветов по формуле (6.3):



Из (6.3) следует:



 

Взяв отношение модулей mБ/m? вместо отношения отрезков



проведем обратное преобразование:



Из (6.4) будем иметь



(6.5)

где первый сомножитель — отношение расстояния от точ­ки определяемого цвета до белой к расстоянию от белой точки до локуса.



Различают два близких понятия — условная чистота цвета ру и собственно колориметрическая чистота цвета р (иногда ее обозначают рк). При определении ру яркостные коэффициенты выражают как 1/680 долю колориметричес­кой единицы основных. В этом смысле яркостные коэффи­циенты равны между собой. Тогда



При определении р отношение L?/L выражается в свето­вых единицах яркости, и, следовательно,



Для практических расчетов отношение расстоянии ЦБ/Ц?Б

заменяют пропорциональным ему отношением разностей координат, которое легко прочитать по координатным осям диаграммы. Например, для цвета Ц (рис. 6.14):



для цвета Ц1:



для цвета Ц2 (точка Ц?2

лежит на линии пурпурных цветов, совпадая с точкой П).



Для цветов, расположенных за локусом, чистота боль­ше единицы. Так, для Ц3:







Рис. 6.13. К выражению коло­риметрической чистоты цвета на диаграмме rg и выводу уравнения алихны



Рис. 6.14. Схема определения колориметрической чистоты цвета

В колориметрической практике применяют диаграммы, на которых точки цветов одинаковой чистоты соединены ли­ниями. Таким образом, значение этой величины можно про­читать по диаграмме.

Положение линии алихны. Яркость единичного цвета в соответствии с (5.4) равна Вц

= 680 (rLR + gLG + bLB).

Приравняв это уравнение нулю и выразив яркостные коэффициенты через соответствующие им яркости, получим для алихны:

680(r + 4,59g+0,06b) = 0. (6.6)

Уравнение выражает положение алихны в пространстве. Чтобы описать ее положение на плоскости, необходимо за­менить b значением 1 — (r + g).

Подставив это значение координаты в уравнение (6.6), находим после преобразования

g = — 0,208 r— 0,013. (6.7)

Угловому коэффициенту уравнения (6.7) соответству­ет угол ? = 168° относительно оси абсцисс. Проводя под этим углом прямую, отсекающую от оси ординат отрезок g =

—0,013, получим алихну (рис. 6.13), обозначена тон­кой линией.

6.3. АФФИННЫЕ СВОЙСТВА ЦВЕТОВОГО ПРОСТРАНСТВА

В соответствии с первым законом Грасмана основные цвета должны быть линейно независимыми.


Это значит, что они могут быть представлены любыми тремя векторами, лишь бы эти векторы не лежали в одной плоскости. Таким образом, декартова система координат, на которой был ос­нован изложенный выше материал о цветовом пространст­ве, — лишь частный случай представления векторного пространства цветов. Для выражения совокупности цветов иногда применяют систему косоугольных координат как более общую, чем прямоугольная.

Изменение углов между координатными осями приво­дит к деформации цветового пространства. Например, при уменьшении указанных углов точки цветов (или, что то же, концы векторов) смещаются к ахроматической оси. Естест­венно, что совокупность цветов при этом остается прежней, происходит лишь их перемещение — сжатие цветового пространства. При увеличении углов, наоборот, цветовое пространство расширяется. Однако все его метрологичес­кие свойства (главные из них отмечены в разделе 6.2) при указанных деформациях сохраняются. Сохраняются они и при изменении длин векторов основных цветов, хотя это действие, как и упомянутые, приводит к перемещению цветов в пространстве. Во всех этих случаях деформации пространства изменяются также форма и положение цве­тового треугольника.

Таким образом, существуют геометрические преобра­зования цветового пространства, при которых его метро­логические свойства остаются прежними. Это главным образом — аффинные преобразования (от лат. affinis — родственный).

Пусть х и у.— декартовы координаты некоторой точки на плоскости. Аффинное преобразование состоит в том, что х и у превращаются в новые координаты х1 и y1 связанные с исходными соотношениями:

х1 = ах+bу+р;

y1= cx+dy+q, (6.8)

где ad — bc ? 0.

Изучением аффинных преобразований занимается раздел математики — аффинная геометрия. Здесь будет рассмот­рен только частный случай, чтобы дать представления, не-



Рис. 6.15. Примеры аффинного преобразования: а — схема преобразования; 6 — результат преобразования обходимые для понимания некоторых свойств цветового пространства.


Примером аффинных преобразований слу­жат преобразования подобия, а также получаемые равно­ мерным сжатием или расширением изображения. Случай такого преобразования был показан на рис. 6.12: проеци­руемая плоскость и плоскость проекции непараллельны. Представим его более наглядно. На рис. 6.15, а показаны проецируемая плоскость Р, в которой находится ряд фи­гур, и плоскость проекции Р'. Изображения фигур в ре­зультате проецирования сужаются в направлении, пер­пендикулярном линии пересечения плоскостей, т. е. про­исходит их аффинное преобразование. Его следствия пред­ставлены на рис. 6.15, б.

Свойства фигур, которые сохраняются при рассматри­ваемом преобразовании.

1. Параллельность прямых: пары отрезков 1 и 2 оста­ются параллельными и в проекционной копии.

2. Отношения углов: меньший угол в примере 4 и в проекции остается вдвое меньшим, чем больший.

3. Плоскостность фигур.

4. Отношения параллельных отрезков: короткий отре­зок и в копии составляет 2/3 длинного, независимого от их расположения в оригинале (примеры / и 2).

Представим себе, что плоскость Р, показанная на рис. 6.15, а, есть одна из координатных плоскостей прямо­угольной системы координат, ограничивающих цветовое пространство, а Р' --косоугольной. От замены плоскости Р на Р' аффинные свойства цветового пространства, опре­деляющие его метрологические особенности (см. ниже), не нарушаются. Это делает понятной упомянутую выше произвольность выбора угла между координатными осями основных цветов.

Свойства фигур и линий, которые не сохраняются при аффинных преобразованиях, называются н е а ф ф и н-н ы м и (рис. 6.15).

1. Расстояния между параллельными прямыми (при­меры / и 2) в общем случае не сохраняются.

2. При аффинности отношения углов сами углы неаф-финны; как видно из примеров 3, 4 и 5, они могут при аф­финных преобразованиях измениться.

3. Форма фигуры в результате описываемого преобра­зования может измениться: равносторонний треугольник rgb (рис. 6.12) превращается в прямоугольный, соотноше­ния осей эллипсов (пример 7) изменяются, окружность мо­жет перейти в эллипс (пример 6), а эллипс — в окружность (пример 8).



4. Отношения длин непараллельных отрезков также неаффинны: отрезки из примера / сохраняют длину, а от­резки 2 становятся более короткими, и отношения длин указанных пар в оригинале и копии различны.

Рассмотрим теперь несколько примеров, иллюстрирую­щих метрологический смысл аффинных и неаффинных свойств цветового пространства.

Сравнение длин в цветовом пространстве, обладающем аффинными свойствами, имеет смысл только для одного направления (см. случай неаффинности 4 и примеры 1 и 2 на рис. 6.15, а). Сравнивать длины векторов цветов, на­правленных в разные стороны, строго говоря, нельзя: их отношение неаффинно. Из этого вытекает невозможность непосредственного сравнения яркостей качественно раз­личных цветов (т. е. длин векторов, направленных в раз­ные стороны). Для решения такой задачи, как говорилось в 2.2.1, существуют искусственные приемы.

Отмеченная выше неаффинность углов и аффинность их отношений имеет следующее значение. Насыщенность цве­тов разного цветового тона определяется углами их векто­ров с ахроматической осью, возрастая с увеличением этого угла. Но так как углы неаффинны, то насыщенности цве­тов разного цветового тона непосредственно несравнимы (существуют, однако, как мы видели, обходные пути). В то же время насыщенность цветов одного и того же цветового тона сравнивать можно. Это объясняется тем, что векторы цветов и ахроматическая ось в этом случае лежат в одной плоскости. Угол, составляемый вектором меньшей насы­щенности с указанной осью, есть доля угла, образуемого с ней вектором цвета большой насыщенности. Отношения же углов аффинны.

В связи с рассмотренным свойством цветового прост­ранства становится понятным определение цвета по ГОСТ 13088—67: «Цвет есть аффинная векторная величина трех измерений, выражающая свойство, общее всем спект­ральным составам излучения, визуально неразличимым в колориметрических условиях наблюдения».

Определение цвета как аффинной векторной величины означает, что те его свойства, которые аффинны, сохраня­ются при преобразованиях, удовлетворяющих уравнениям (6.8).


Содержание раздела

---

---